Per què? Perquè sí. & Por qué? Por que no.

Utilitzarem per què en les frases interrogatives directes i indirectes en què es pregunta la causa d’un fet, d’una situació, etc.

Per què estaves amoïnada?
La mare em preguntà per què estaves amoïnada.

En canvi, usarem per a què en les frases interrogatives en què es pregunta sobre la finalitat o la destinació d’un objecte, una acció, etc.

Per a què servirà això?

Emprarem perquè en les oracions subordinades que indiquen el motiu o la finalitat de l’oració principal:

Ha anat a dormir perquè estava molt cansada. (causal)
Et deixo el llibre perquè el llegeixis. (final)

Perquè és també un substantiu, el sinònim del qual és raó. Observa que en aquest cas utilitzem un article.

No et sabria dir el perquè.

Font: EDU365.CAT

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El uso de porqué, porque, por qué y por que

Porqué es un sustantivo (el porqué, es decir, la causa, el motivo); siempre va precedido del artículo (el) o de otro determinante (su, este, otro...). Admite plural : los porqués. 
Ejemplo: No explica nunca el porqué de sus decisiones.

Porque es una conjunción causal: introduce una oración subordinada que explica la causa de otra principal. 
Ejemplo: Lo he entendido porque me lo has explicado muy bien.

Por qué sólo se usa en oraciones interrogativas, directas e indirectas. Por es preposición y qué es un pronombre interrogativo. 
Ejemplos: ¿Por qué no has venido a la fiesta? (Interrogativa directa)
                No sé por qué se ha portado tan mal.(Interrogativa indirecta)

Por que se compone de la preposición por y del pronombre relativo que; se puede sustituir por "el cual, la cual", etc.
Ejemplo: Fueron varios los delitos por que fue juzgado.

 

Fuente: EDU365.CAT